Differentiable MPC for End-to-end Planning and Control · 力所能及的改变这个世界

总体思路

论文总体思路利用求解拉格朗日方程，将约束问题转换为无约束问题，并通过构建的kkt条件借助对最优解的导数来隐式的求解所涉及的loss对参数（C，c，F，f）的导数，这其中渗透参杂这许多引理，如果只是使用可以不求甚解，更多细节需要仔细推敲

# **1. 算法流程（Algorithm 2简化版）**

• **输入**：初始状态 $x_{\text{init}}$ ，初始控制序列 $u_{\text{init}}$ ，参数 $\theta$ 。

• **前向传播**：

1. 使用iLQR求解MPC，得到 $\tau^*$ 。

2. 记录最后一次迭代的 $H^n$ （成本Hessian）和 $F^n$ （动力学Jacobian）。

• **反向传播**：

1. **构造零约束LQR问题**：

◦ 成本函数： $\sum_t \frac{1}{2} d_{\tau_t}^\top H^n d_{\tau_t} + (\nabla_{\tau_t^*}\ell)^\top d_{\tau_t}$ 。

◦ 约束： $d_{x_1}=0$ ， $d_{x_{t+1}}=F^n d_{\tau_t}$ ， $d_{u_{t,i}}=0$ （若 $u_{t,i}^*$ 在边界）。

2. **求解得到** $****d\_\\****tau****^\*****$ ********：复用前向传播的矩阵分解，高效计算。

3. **计算梯度**：利用公式8和链式法则更新 $\theta$ 。